Fractales (III): el conjunto de Mandelbrot Abril 19, 2008
Posted by Amarok in Ciencia, Matemáticas.trackback
Últimamente todo lo que se publica (libros, videojuegos, películas, etc.) tiene que formar parte de una trilogía (por lo menos) ya que si no parece que no resulta llamativo. Así que, siguiendo la corriente establecida, retomo la Saga de los Fractales (xD) para hablar de uno de los conjuntos más conocidos: el conjunto de Mandelbrot. Es tan famoso que hasta los extraterrestres nos “visitan” para dibujarlo sobre campos de cereales:
Este conjunto toma su nombre del científico Benoit Mandelbrot, que se dedicó a investigar sobre él en los años 70. El conjunto se define de la siguiente forma:
A partir de un número complejo c, se construye una sucesión por inducción, siendo:
Si la sucesión queda acotada, se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot. Ejemplo: si escogemos c=1, obtenemos la sucesión 0,1,2,5,26… que es divergente, así que el número 1 no pertenece al conjunto. Sin embargo, si escogemos c=-1, la sucesión generada es 0, -1, 0, -1… que sí está acotada; entonces c=-1 sí pertenece al conjunto.
Se suele representar al conjunto de Mandelbrot mediante un algoritmo de tiempo de escape, que nos da la siguiente figura:
En negro se muestran los puntos que pertenecen al conjunto, mientras que los colores del resto de puntos nos muestran la velocidad con la que divergen las sucesiones correspondientes a dichos puntos. El color rojo oscuro indica que al cabo de unos pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto, mientras que el blanco indica que se necesita un número mayor de cálculos para comprobar si la sucesión diverge.
Una de las propiedades que cumplen los fractales es la autosimilitud. Vamos a comprobar esta característica en este conjunto. A continuación se muestra una ampliación de la parte superior de la imagen generada mediante el algoritmo de tiempo de escape:
Si nos fijamos, en la parte superior izquierda se aprecia una pequeña mancha. Veamos una ampliación de esa “mancha”:
Vemos que se obtiene de nuevo la figura original del conjunto de Mandelbrot, pero rotada y a una escala mucho más pequeña.
Para más información sobre este conjunto: http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrot
La primera vez que vi este conjunto tan curioso fue en la contraportada de un disco titulado Heaven’s Open, de un tal Michael Oldfield:
Lo miro y lo vuelvo a mirar, pero no encuentro la gran aportación española a los fractales.
¿Es que nadie se va a acordar del hallazgo que realizó Jesús Gil al aplicar la recursividad matemática al lenguaje y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal y tal…?
Yo también recuerdo a Jesús Gil.
Sin grandes hombres, no hay futuro. Donde quiera que estés, descansa en paz, Imperioso.
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alguien me puede dar una lgoritmo para graficar el conjunto de Mandelbrot
En la siguiente página hay un programa para dibujar ese conjunto:
http://www.alumnos.unican.es/uc20602/evaluacion/practica32/mandelbrot/practica32A.html